Relaciones entre triángulos y paralelogramos

La intención de este apartado es recuperar algunas propiedades que han sido analizadas al estudiar triángulos. Se trata ahora de utilizar esas características para establecer relaciones en los paralelogramos a partir de concebir que estos cuadriláteros se pueden “descomponer” en dos triángulos iguales al trazar cualquiera de sus diagonales.

Poner en relación triángulos y paralelogramos permite saber más sobre estos cuadriláteros y también resignificar las propiedades estudiadas de los triángulos, al inscribirlas ahora en un entramado de validez más amplio. Al mismo tiempo, es una manera de comunicar en acto que el estudio de una “zona” (en este caso triángulos) permite conocer las propiedades de otra "zona" (aquí de los paralelogramos).

Las siguientes actividades nos permiten ejemplificar a qué nos estamos refiriendo.

1-      Este triángulo es la mitad de un paralelogramo en el que una de sus diagonales es AD.
 
a)      Construí el paralelogramo usando regla y escuadra. ¿Con qué argumentos es posible estar seguro de que la figura construida es un paralelogramo?
b)      Construí el paralelogramo usando compás y regla no graduada. ¿Con qué argumentos es posible estar seguro de que la figura construida es un paralelogramo?
 
 
 
2-       

a)      ¿Es posible que exista un paralelogramo que tenga un lado AB de 5cm, un lado BC de 4 cm y la diagonal AC de 7 cm? Si la respuesta es sí, construílo; si es no, explicá por qué.
b)      ¿Es posible que exista un paralelogramo que tenga un lado AB de 5cm, un lado BC de 4 cm y la diagonal AC de 9 cm? Si la respuesta es sí, construílo; si es no, explicá por qué.

3-       

a)      Construí un paralelogramo que tenga un lado AB de 7 cm y un lado BC de 4 cm. Y el ángulo que forman esos lados sea de 60º ¿Cuántos paralelogramos distintos es posible construir que cumplan estas condiciones?
b)      Construí un paralelogramo que tenga un lado AB de 7 cm y una diagonal AC de 9cm. ¿Cuántos paralelogramos distintos es posible construir que cumplan estas condiciones?

El problema 1 permite explorar cómo “componer” un paralelogramo a partir de dos triángulos iguales, como muestra la ilustración.

 

Notar que si se hacen coincidir dos triángulos iguales sin rotarlos, la figura que queda no es un paralelogramo. Por ejemplo: 

 

 

 

De manera general, se puede preguntar si siempre es posible construir un paralelogramo “juntando” dos triángulos iguales cualesquiera.

En el caso a), seguramente los niños resuelvan trazando paralelas a los lados AC y CD. Es posible estar seguro que la figura construida es un paralelogramo porque AC es paralela a DB y CD es paralela a AB. Un paralelogramo es un cuadrilátero que tiene dos pares de lados opuestos paralelos. ABCD cumple esa condición, entonces, es un paralelogramo.

En el caso b), se trata de construir un triángulo igual al dado. En este caso el compás permite “garantizar” que las longitudes de los lados correspondientes sea la misma.

Una característica que los problemas a) y b) tienen en común, es que se trata de elaborar un cuadrilátero a partir de construir un triángulo que tenga las mismas características que el que está dibujado. Una diferencia entre ambas situaciones, es que se proponen en cada caso instrumentos diferentes. Como puede verse, la habilitación de unos u otros instrumentos para realizar la construcción, permite “iluminar” distintas características de una misma figura.

Los problemas 2 a) y b) retoman el concepto de desigualdad triangular, pero en este caso “al servicio” de la construcción de un paralelogramo. En efecto, dos lados consecutivos y una de las diagonales forman un triángulo. Si los lados miden 5 cm y 4 cm respectivamente, la diagonal no puede medir 9 cm porque en un triángulo, la suma de dos de los lados debe ser mayor que el tercero. En términos generales, para que un paralelogramo pueda construirse, las diagonales deben medir menos que la suma de dos de los lados consecutivos.

Los problemas 3 a) y b) permiten analizar la unicidad de la construcción. Se retoma entonces la exploración realizada respecto de cuáles son los datos mínimos necesarios que permiten construir un triángulo. En la medida en que sea posible construir un único triángulo, entonces será posible construir un único paralelogramo.

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